Bentuk Aljabar, Persamaan, dan Pertidaksamaan

1. Pengertian ALJABAR
Bentuk ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

1.2  UNSUR - UNSUR ALJABAR

 1. Variabel, Konstanta, dan Faktor

Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p X q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 X x atau 5x = 1 X 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.

2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis
a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...

Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ...

b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ...

c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ...

d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ...

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.

2.  OPERASI HITUNG PADA ALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

2. Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a X (b + c) = (a X b) + (a X c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a X (b – c) = (a X b) – (a X c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

3. Perpangkatan

Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.

4. Pembagian

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

5. Substitusi pada Bentuk Aljabar

Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.

6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya.

3.1 Persamaan linear

Persamaan linear adalah persamaan yang pangkat variabelnya adalah satu. Bentuk umum persamaan linear adalah ax + b = c, a ≠ 0, a,b,c E R

Menyelesaikan persamaan linear adalah mencari pengganti variabel sehingga persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar

Contoh 1

Selesaikan 3x + 4 =16 !

Jawab

Agar 3x + 4 = 16 maka x diganti dengan 4, jadi penyelesaiannya x = 4

3.2 Pertidaksamaan Linier

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, > , ≤ , ≥

Contoh:

5 + x   >10

x – 4 < 12

3x – 2 ≤ 7

2x + 6 ≥ 4

3.3 Sifat-sifat pertidaksamaan :

Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama misal x > y maka x + a > y + a

Suatu pertidaksamaan tidak berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, misalnya x ≤ y maka               a .x ≤ y. a dengan a > 0

Suatu pertidaksamaan akan berubah tandanya jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama misal x ≤ y maka –x a ≥ -y a (berubah tanda karena kedua ruas dikali dengan bilangan negatif yang sama) misal x ≤ y maka (berubah tanda karena kedua ruas dibagi dengan bilangan negatif yang sama.)

3.4 Penyelesaian pertidaksamaan

Materi himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dapat ditunjukan dendan notasi himpunan atau dengan garis bilangan.

Jika HP ditunjukan dengan garis bilangan , maka tanda < atau ≤ digambarkan dengan anak panah ke kiri, sedangkan tanda > atau ≥ digambarkan dengan anak panah ke kanan.

Titik yang menyatakan bilangan tertentu , maka tanda < atau > digambarkan dengan tanda kurung biasa, sedangkan tanda ≤ atau ≥ digambarkan dengan tanda kurung siku

3.5 Sifat-sifat persamaan linear

suatu persamaan tidak berubah nilainya jika ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama.

Suatu persamaan tidak berubah nilainya jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

Contoh soal

Contoh:

1. (x + y + 2xy) + (x2 + 3x + Sxy)

= x + y + 2xy + x2 + 3x + Sxy

= x2 + (x + 3x) + y + (2xy + Sxy)

= x2 + 4x + y + 7xy

2. (x2 + y- 5xy) - (2x2- y- 7xy)

= x2 + y- 5xy- 2x2 + y + 7xy

= x2- 2x2 + y + y- 5xy + 7xy

= -X2 + 2y + 2xy

3. Jika x2 + y2 = 5 dan xy = 2, maka x + y = . . .
A.  0
B.  2
C.  -3
D.  3 dan -3
E.  3

Jawaban D
x2 + y2 = 5
        xy = 2
 (x+y)2 = x2 + y 2 + 2xy
            = 5 + 2(2)
            = 9
    x + y = ± 3

4. Jika X dan Y bilangan bulat yang memenuhi 6 < X < 8 dan 7 < Y < 9 , maka . . .
A.  2X > 2Y
B.  X = 2Y
C.  X < Y
D.  X = Y
E.  X > Y

Jawaban C
Jika X dan Y bilangan bulat yang memenuhi 6 < X < 8  dan  7 < Y < 9 , maka X = 7 dan Y = 8. Maka X < Y.

5. 2X = 64 dan 3Y = 81 maka:
A.  X dan Y tak bisa ditentukan
B.  XY < Y
C.  X < Y
D.  X = Y
E.  X > Y

Jawaban E
2X = 64 dan 3Y = 81 maka:
X = 64/2 = 32
Y = 81/3 = 27 jadi X > Y