Bilangan dan Operasi Hitungnya
1. Pengertian Bilangan
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selaludibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya. Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yangmasing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol.
2.1 Jenis – Jenis Bilangan
- bilangan bulat
Contoh bilangan bulat
Contoh : B = { …,-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …
Pengertian bilangan asli
Bilangan asli merupakan himpunan bilangan bulat yang dimulai dari angka satu, dua, tiga, empat, dan seterusnya ke atas, sedangkan logikawan (ilmuwan komputer) menjelaskan bahwa bilangan asli termasuk dengan himpunan (0) nol.
-
bilangan asli
Contoh bilangan asli tradisional : A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, … }
Contoh bilangan asli menurut logikawan A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, … }
- bilangan prima
Pengertian bilangan prima
Bilangan prima merupakan bilangan asli, dimana bilangan ini hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1.
Berikut ini adalah contoh bilangan prima 1 – 100 :
Contoh: P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, … }
Bilangan cacah merupakan suatu himpunan bilangan bulat yang tidak memiliki nilai negatif dimulai dari angka 0 (nol)
- bilangan cacah
Contoh bilangan cacah
Contoh : C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, … }
Pengertian bilangan nol
Bilangan nol merupakan suatu angka kosong (0) untuk mewakili angka di dalam angka. Peran penting angka nol adalah sebagai identitas bagi bilangan real, bulat, dan aljabar lainnya.
- bilangan nol
Contoh : N = { 0 }
Pengertian bilangan pecahan
Bilangan pecahan merupakan bilangan yang memiliki penyebut dan pembilang. Misalnya saja 1/2, angka 1 adalah penyebut dan angka 2 adalah pembilang.
- Bilangan Pecahan
Contoh: H = { ⅓ (sepertiga), ⅔ (dua per tiga), ⅛ (seperdelapan), ⅝ (lima per delapan), … }
Pengertian bilangan rasional
Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk x/y, dengan penjelasan x dan y adalah merupakan bilangan bulat dan y tidak sama dengan 0 (y ≠ 0).
- bilangan rasional
Contoh : R = { ¼ (seperempat), ¾ (tiga per empat), … }
Pengertian bilangan irrasional
Bilangan irrasional adalah suatu himpunan bilangan riil (real) yang tidak bisa di bagi, bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.
- bilangan irrasional
Contoh : I = { √2, √3, √5, √6, √7, √8, √9, √10, … }
Kenapa √4 tidak termasuk bilangan irrasional? karena hasil dari √4 dapat dibagi lagi yaitu adalah 2.
3.1 Operasi hitung Bilangan Bulat
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Berlaku :
- a + b = a + b
- a - b = a + (-b)
- -a + -b = -( a+b )
- a - (-b) = a + b
Contoh soal :
- 5 + 7 = 12
- 10 - 4 = 6
- -2 + -5 = -( 2+5 ) = -7
- 8 - (-4) = 8 + 4 = 12
2. Perkalian dan Pembagian
- Dalam pengertian dasar, perkalian merupakan sebuah penjumlahan yang berulah, contoh 3 x 5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 (sebanyak lima kali).
Berlaku :
- a x b = ab
- a x (-b) = -ab
- (-a) x b = -ab
- (-a) x (-b) = ab
Contoh soal :
- 5 x 4 = 20
- 6 x (-2) = -12
- (-3) x 5 = -15
- (-8) x (-9) = 72
- Dalam pengertian dasar, pembagian merupakan kebalikan atau invers dari perkalian, Contoh, 30 : 5 = 30 x 1/5 = 6
Berlaku :
- a : b = a/b
- a : (-b) = -a/b
- (-a) : b = -a/b
- (-a) : (-b) = a/b
Contoh soal :
- 10 : 2 = 5
- 9 : (-3) = -3
- (-4) : 4 = -1
- (-6) : (-2) = 3
Contoh soal operasi hitung campuran bilangan bulat lainnya yaitu sebagai berikut :
1. Kota Meksiko memiliki suhu udara 7° C. Jika di Amerika suhu udaranya 12° C lebih rendah dibandingkan kota Meksiko. Maka berapa suhu udara di kota Amerika ?
Pembahasan:
Suhu Meksiko = 7° C
Suhu Amerika = -12° C dari kota Meksiko
Suhu Amerika = 7 - 12 = -4° C
Jadi suhu di kota Amerika ialah -4° C.
2. Di sebuah kota suhu disiang hari mencapai 35° C. Ketika dimalam hari suhu udaranya berubah menjadi 25° C. Maka perbedaan antara suhu udara disiang hari dengan malam hari dikota tersebut ialah...
Pembahasan:
Kita tinggal kurangkan antara bilangan yang besar dengan yang kecil
Perbedaan suhunya = 35 - 25 = 10° C
Operasi pada Bilangan Bulat
Operasi yang berlaku pada bilangan bulat adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
a. Sifat Distributif
Distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan
(a + b) x c = (a x c) + (b x c)
(a- b) x c = (a x c) - (b x c)
b. Sifat pada Perkalian dan Pembagian
|
Tanda pada perkalian |
Tanda pada Pembagian |
|
+ x + = + |
+ : + = + |
|
+ x - = - |
+ : - = - |
|
- x + = - |
- : + = - |
|
- x - = + |
- : - = + |
c. Sifat Operasi Campuran Bilangan
Bulat
Operasi campuran pada bilangan bulat sering ditanyakan dalam soal-soal TPA. Di samping membutuhkan kecepatan, untuk mengerjakan soal ini juga membutuhkan ketelitian . Ketelitian tersebut terkait dengan ketelitian dalam berhitung dan juga dalam aturan melakukan operasi. Operasi campuran pada bilangan bulat terdiri dari campuran penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Aturannya sebagai berikut.
1) Operasi penjumlahan dan pengurangan sama kuat.
Tip: kerjakan dari kiri ke kanan.
Contoh:
17 + 15-21 = 32-21 = 11
2) Operasi perkalian dan pembagian sama kuat.
Tip: kerjakan dari kiri ke kanan.
Contoh:
(-125) X 8: 25 = -1.000 : 25 : -40
3) Operasi perkalian dan pembagian mempunyai kedudukan yang lebih kuat daripada operasi penjumlahan dan pengurangan.
Tip: Dahulukan perkalian atau pembagian terlebih dahulu, kemudian penjumlahan dan pengurangan.
Contoh:
175 + (-125) X 8 : 25 : 175 + (-40)
= 175 - 40
= 135
4) Jika pada soal terdapat operasi gabungan yang disertai tanda kurung, maka kerjakan yang berada
di dalam kurung, kemudian ikuti aturan 3.
Tip: Kerjakan yang di dalam kurung.
Contoh:
(16 : 2) + (-5 X 2) - (- 3)
= 8 + (-10) + 3
= 8 -10 + 3
= 1