Bilangan dan Operasi Hitungnya

1. Pengertian Bilangan

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwadalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selaludibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya. Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yangmasing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol.

2.1 Jenis – Jenis Bilangan

  • bilangan bulat

Contoh bilangan bulat

Contoh : B = { …,-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …

Pengertian bilangan asli

Bilangan asli merupakan himpunan bilangan bulat yang dimulai dari angka satu, dua, tiga, empat, dan seterusnya ke atas, sedangkan logikawan (ilmuwan komputer) menjelaskan bahwa bilangan asli termasuk dengan himpunan (0) nol.

  •  bilangan asli

Contoh bilangan asli tradisional : A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,  … }

Contoh bilangan asli menurut logikawan A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,  … }

  • bilangan prima

Pengertian bilangan prima

Bilangan prima merupakan bilangan asli, dimana bilangan ini hanya dapat dibagi oleh bilangan itu sendiri dan angka 1.

Berikut ini adalah contoh bilangan prima 1 – 100 :

Contoh: P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, … }

Bilangan cacah merupakan suatu himpunan bilangan bulat yang tidak memiliki nilai negatif dimulai dari angka 0 (nol)

  • bilangan cacah

Contoh bilangan cacah

Contoh : C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,  … }

Pengertian bilangan nol

Bilangan nol merupakan suatu angka kosong (0) untuk mewakili angka di dalam angka. Peran penting angka nol adalah sebagai identitas bagi bilangan real, bulat, dan aljabar lainnya.

  • bilangan nol

Contoh : N = { 0 }

Pengertian bilangan pecahan

Bilangan pecahan merupakan bilangan yang memiliki penyebut dan pembilang. Misalnya saja 1/2, angka 1 adalah penyebut dan angka 2 adalah pembilang.

  • Bilangan Pecahan

Contoh: H = { ⅓ (sepertiga), ⅔ (dua per tiga), ⅛ (seperdelapan), ⅝ (lima per delapan), … }

Pengertian bilangan rasional

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk x/y, dengan penjelasan x dan y adalah merupakan bilangan bulat dan y tidak sama dengan 0 (y ≠ 0).

  • bilangan rasional

Contoh : R = { ¼ (seperempat), ¾ (tiga per empat), … }

Pengertian bilangan irrasional

Bilangan irrasional adalah suatu himpunan bilangan riil (real) yang tidak bisa di bagi, bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.

  • bilangan irrasional

Contoh : I = { √2, √3, √5, √6, √7, √8, √9, √10, … }

Kenapa √4 tidak termasuk bilangan irrasional? karena hasil dari √4 dapat dibagi lagi yaitu adalah 2.

3.1 Operasi hitung Bilangan Bulat

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Berlaku :

  • a + b = a + b
  • a - b = a + (-b)
  • -a + -b = -( a+b )
  • a - (-b) = a + b

Contoh soal :

  1. 5 + 7 = 12
  2. 10 - 4 = 6
  3. -2 + -5 = -( 2+5 ) = -7
  4. 8 - (-4) = 8 + 4 = 12

2. Perkalian dan Pembagian

- Dalam pengertian dasar, perkalian merupakan sebuah penjumlahan yang berulah, contoh 3 x 5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 (sebanyak lima kali).

Berlaku :

  • a x b = ab
  • a x (-b) = -ab
  • (-a) x b = -ab
  • (-a) x (-b) = ab

Contoh soal :

  1. 5 x 4 = 20
  2. 6 x (-2) = -12
  3. (-3) x 5 = -15
  4. (-8) x (-9) = 72

- Dalam pengertian dasar, pembagian merupakan kebalikan atau invers dari perkalian, Contoh, 30 : 5 = 30 x 1/5 = 6

Berlaku :

  • a : b = a/b
  • a : (-b) = -a/b
  • (-a) : b = -a/b
  • (-a) : (-b) = a/b

Contoh soal :

  1. 10 : 2 = 5
  2. 9 : (-3) = -3
  3. (-4) : 4 = -1
  4. (-6) : (-2) = 3

Contoh soal operasi hitung campuran bilangan bulat lainnya yaitu sebagai berikut :

1. Kota Meksiko memiliki suhu udara 7° C. Jika di Amerika suhu udaranya 12° C lebih rendah dibandingkan kota Meksiko. Maka berapa suhu udara di kota Amerika ?

Pembahasan:

Suhu Meksiko = 7° C

Suhu Amerika = -12° C dari kota Meksiko

Suhu Amerika = 7 - 12 = -4° C

Jadi suhu di kota Amerika ialah -4° C.

2. Di sebuah kota suhu disiang hari mencapai 35° C. Ketika dimalam hari suhu udaranya berubah menjadi 25° C. Maka perbedaan antara suhu udara disiang hari dengan malam hari dikota tersebut ialah...

Pembahasan:

Kita tinggal kurangkan antara bilangan yang besar dengan yang kecil

Perbedaan suhunya = 35 - 25 = 10° C

Operasi pada Bilangan Bulat

Operasi yang berlaku pada bilangan bulat adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

a. Sifat Distributif

Distributif terhadap penjumlahan dan pengurangan

(a + b) x c = (a x c) + (b x c)

(a- b) x c = (a x c) - (b x c)

b. Sifat pada Perkalian dan Pembagian

Tanda pada perkalian

Tanda pada Pembagian

+ x + = +

+ : + = +

+ x - = -

+ : - = -

- x + = -

- : + = -

- x - = +

- : - = +

c. Sifat Operasi Campuran Bilangan

Bulat

Operasi campuran pada bilangan bulat sering ditanyakan dalam soal-soal TPA. Di samping membutuhkan kecepatan, untuk mengerjakan soal ini juga membutuhkan ketelitian . Ketelitian tersebut terkait dengan ketelitian dalam berhitung dan juga dalam aturan melakukan operasi. Operasi campuran pada bilangan bulat terdiri dari campuran penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Aturannya sebagai berikut.

1) Operasi penjumlahan dan pengurangan sama kuat.

Tip: kerjakan dari kiri ke kanan.

Contoh:

17 + 15-21 = 32-21 = 11

2) Operasi perkalian dan pembagian sama kuat.

Tip: kerjakan dari kiri ke kanan.

Contoh:

(-125) X 8: 25 = -1.000: 25: -40

3) Operasi perkalian dan pembagian mempunyai kedudukan yang lebih kuat daripada operasi penjumlahan dan pengurangan.

Tip: Dahulukan perkalian atau pembagian terlebih dahulu, kemudian penjumlahan dan pengurangan.

Contoh:

175 + (-125) X 8 : 25 : 175 + (-40)

= 175-40

= 135

4) Jika pada soal terdapat operasi gabungan yang disertai tanda kurung, maka kerjakan yang berada

di dalam kurung, kemudian ikuti aturan 3.

Tip: Kerjakan yang di dalam kurung.

Contoh:

   (16 : 2) + (-5 X 2) - (- 3)

= 8 + (-10) + 3 = 8 -10 + 3

= 1