Peluang

1. Peluang

adalah Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel Definisi peluang : Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut. Peluang disebut juga dengan nilai kemungkinan

Keterangan:

n(S) = banyak anggota ruang sampel

n(A) = banyaknya kejadian A

P(A) = peluang kejadian A

Nilai peluang berkisar antara 0 sampai 1. Bika nilai peluangnya 0 disebut kemustahilan dan bila nilai peluangnya 1 disebut kepastian.

Contoh:

1. Untuk membentuk pengurus suatu organisasi, ada 2 calon ketua, 3 calon sekretaris, dan 2 orang calon bendahara, serta tidak ada seorang pun yang dicalonkan pada dua atau lebih kedudukan yang berbeda. Berapa cara susunan pengurus yang terdiri dari seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara dapat dibentuk?

Jawab:

Gunakan aturan perkalian. Banyak cara susunan pengurus yang terdiri dari seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara dapat dibentuk:

= ketua . sekretaris . bendahara

= 2 . 3 . 2

= 12

2. Ruang sampel dan kejadian ( peristiwa )

Ruang sampel (sample space) adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Peristiwa (kejadian, event) adalah himpunan bagian dari ruang sampel

  • Peristiwa sederhana: hanya memuat 1 elemen saja
  • Peristiwa bersusun: gabungan dari peristiwa-peristiwa sederhana
  • Jika hasil suatu experimen termasuk dalam himpunan A, maka dapat dikatakan bahwa peristiwa A telah terjadi.

Percobaan adalah suatu tindakan atau proses pengamatan yang menghasilkan outcome yang tak dapat diperkirakan kepastiannya.

Notasi :

  • Ruang sampel ditulis dengan notasi S
  • Peristiwa dinotasikan dengan huruf besar: peristiwa2 A, B, C, dst.
  • Anggota (elemen) ruang sample dinotasikan dengan huruf kecil: a1, a2, a3, dst. Anggota / elemen ruang (sample point)
  • Jika ruang sampel S beranggotakan a1, a2, dan a3, maka ruang sampel yang bersangkutan dapat disajikan sebagai: S = {a a1, a , a2, a , a3}
  • Jika peristiwa A beranggotakan a1, a2, dan a3, maka peristiwa yang bersangkutan dapat dinotasikan sebagai A = {a1, a2, a3}

Contoh 1

Percobaan: Koin (head dan tail) dilempar 1 kali

Hasil: tampak H (head) atau T (tail)

Ruang sampel S = {H, T}

Peristiwa: A = {H, T}

3. Peluang Suatu Kejadian

Aksioma peluang :

Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan tersebut disebut peluang.

  1. Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai pelauang nol dan dinamakan kejadian mustahil.
  2. Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu (peluang ruang sampel adalah satu)
  3. Peluang kejadian A bernilai antara 0 dan 1, yaitu 0 £ P (A) £1
  4. Jika A dan B adalah kejadian sehingga AÇB = Æ,maka P(AÈB) = P(A) + P (B)

Berdasarkan definisi di atas kita akan menentukan arti peluang dari kejadian sederhana. Jika kita mempunyai ruang sampel dengan anggota sebanyak n. selanjutnya jika kita anggap bahwa kesempatan muncul setiap anggota tersebut juga sama. Jika peluang muncul satu anggota adalah p, dan berdasarkan Aksioma (2),maka

p+ p+ p+…+ p =1

n suku

np = 1 Û p =

Misalnya pada [elemparan satu dadu berisi enam,peluang muncul angka 2 adalah

P =  =

Sifat : Nilai Peluang

Dalam ruang sampel (S) yang setiap kejadian sederhana mempunyai peluang yang sama, maka peluang kejadian A adalah

P(A) =  =

Contoh

Kita mempunyai 4 bola putih (P) dan 3 bola merah (M). kemudian diambil satu bola secara acak. Tentukan peluang terambil bola merah.

Penyelesaian

Ruang sampel dari pengambilan satu bola adalah S = {P,P,P,P,M,M,M} dengan setiap bola mempunyai peluang yang sama untuk terambil. Misalnya kejadian terambil bola merah adalah A, maka n(A) = 3. Jadi,peluang kejadian terambilnya bola merah adalah P(A) = .

4. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan adalah peluang kejadian tersebut dikalikan banyak percobaan. Misalnya kita melakukan n kali percobaan dan A adalah kejadian dengan peluang p dengan (0 £ 1). Frekuensi harapan dari kejadian A adalah p Î n. Jika E adalah suatu kejadian dalam ruang contoh S dan P(E) adalah peluang terjadinya E dalam n kali percobaan maka frekuensi harapan kejadian E didefinisikan :

F(E) = P(E) Î n

Contoh

Sekeping uang logam dilempar 30 kali,maka frekuensi harapan muncul gambar adalah. . .

Penyelesaian

F(G) =  Î 30 = 15 kali

5. Kejadian Majemuk

Kejadian majemuk dapat dibentuk dengan cara menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Dengan menggunakan operasi antarhimpunan,suatu kejadian majemuk dapat dibentuk dari dua kejadian majemuk yang lain. Operasi antarhimpunan yang dimaksudkan adalah operasi gabungan (union) dan opersi irisan.

6. Peluang dari Gabungan Kejadian

Misalnya A dan B adalah dua kejadian yang terdapat dalamruang sampel S,maka peluang kejadian A atau B adalah P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB)

7. Peluang Gabungan Dua kejadian Saling Lepas

Apabila A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas ,maka peluang gabungan dua kejadian itu adalah P(AÈB) = P(A) + P(B).

8. Peluang Komplemen suatu kejadian

Misal sebuah dadu bersisi enam dilempar sekali. Kejadian A adalah munculnya bilangan 3 dan ditulis A = {3}. Kejadian A¢ adalah munculnya bukan bilangan 3, ditulis A¢ (dibaca: A komplemen) = {1,2,3,4,5,6}. Diagram Venn untuk himpunan A dan A¢ dapat digambarkan seperti berikut.

Dari gambar di atas tampak bahwa AÇA¢ = Æ sehingga kejadian A dan kejadian A¢ merupakan kejadian yang saling lepas.

9. Kejadian yang Saling Bebas

Misalkan dua buah bola akan diambil secara acak dari sebuah tas yang memuat 4 bola merah dan 3 bola biru. Berapa peluang keduanya bola merah? Jika A kejadian mendapatkan bola merah pada pengambilan pertama dan B kejadian mendapatkan bola merah pada pengambilan kedua. Ruang sampel S di bawah ini akan disajikan dengan dua versi yaitu dengan pengembalian dan tanpa pengembalian. Persoalan yang akan dibahas adalah P(A dan B) atau P(A Ç B).